Tugas 3 - Pengantar Matematika

SOAL TUGAS 3 MATA4101 Pengantar Matematika (BMP EDISI 2)

Soal No 1: Diberikan fungsi sebagai berikut  f(x)=√(x^2+4) x-5

Tentukan;

a. Domain fungsi 𝑓, D ( 𝑓)
b. Range fungsi 𝑓, 𝑅(𝑓)

Jawaban:

Mari kita selesaikan masalah ini langkah demi langkah.

a. Domain fungsi $ff$

Fungsi yang diberikan adalah:

$$f(x)=\sqrt{x^2+4}\cdot (x-5)f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}\; \backslash cdot\; (x\; -\; 5)$$

Domain dari suatu fungsi adalah semua nilai $xx$ yang dapat membuat fungsi tersebut terdefinisi. Pada fungsi ini, kita memiliki akar kuadrat $\sqrt{x^2+4}\backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}$.

Karena dalam operasi akar kuadrat, ekspresi di dalam akar (radikand) harus non-negatif:

$$x^2+4\ge 0x^2\; +\; 4\; \backslash geq\; 0$$

Karena $x^{2}x^2$ selalu non-negatif (untuk semua $xx$) dan $44$ adalah positif, maka:

$$x^2+4\ge 4\ge 0x^2\; +\; 4\; \backslash geq\; 4\; \backslash geq\; 0$$

Hal ini berarti bahwa $\sqrt{x^2+4}\backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}$ selalu terdefinisi untuk semua nilai $xx$. Sehingga, domain dari fungsi $ff$ adalah semua bilangan real, atau dengan notasi interval:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })D(f)\; =\; (-\backslash infty,\; \backslash infty)$$

b. Range fungsi $ff$

Untuk menentukan range fungsi $ff$, kita akan menganalisis perilaku fungsinya.

Pertama, mari kita amati bagian $\sqrt{x^2+4}\backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}$:

• Karena $x^2\ge 0x^2\; \backslash geq\; 0$ untuk semua $xx$, maka $x^2+4\ge 4x^2\; +\; 4\; \backslash geq\; 4$.

• Oleh karena itu, $\sqrt{x^2+4}\ge \sqrt{4}=2\backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}\; \backslash geq\; \backslash sqrt\{4\}\; =\; 2$.

Jadi, $\sqrt{x^2+4}\ge 2\backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}\; \backslash geq\; 2$ untuk semua $xx$.

Selanjutnya, mari kita lihat ekspresi keseluruhan:

$$f(x)=\sqrt{x^2+4}\cdot (x-5)f(x)\; =\; \backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}\; \backslash cdot\; (x\; -\; 5)$$

Karena $\sqrt{x^2+4}\ge 2\backslash sqrt\{x^2\; +\; 4\}\; \backslash geq\; 2$, maka nilai fungsi $f(x)f(x)$ dapat sangat besar atau sangat kecil tergantung nilai $xx$:

• Ketika $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash to\; \backslash infty$, $f(x)\to \mathrm{\infty }f(x)\; \backslash to\; \backslash infty$.

• Ketika $x\to -\mathrm{\infty }x\; \backslash to\; -\backslash infty$, $f(x)\to -\mathrm{\infty }f(x)\; \backslash to\; -\backslash infty$.

Namun, untuk mengetahui range yang lebih spesifik, kita perlu memperhatikan bahwa $xx$ bergerak di seluruh bilangan real, sehingga $(x-5)(x\; -\; 5)$ juga akan mencakup semua nilai real. Oleh karena itu, $f(x)f(x)$ dapat mencakup semua nilai real karena adanya faktor $(x-5)(x\; -\; 5)$ yang dapat negatif atau positif dengan nilai absolut yang sangat besar.

Jadi, range dari fungsi $ff$ adalah semua bilangan real, atau:

$$R(f)=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })R(f)\; =\; (-\backslash infty,\; \backslash infty)$$

Kesimpulan:

• Domain fungsi $ff$:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })D(f)\; =\; (-\backslash infty,\; \backslash infty)$$

• Range fungsi $ff$:

$$R(f)=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })R(f)\; =\; (-\backslash infty,\; \backslash infty)$$

Jika ada pertanyaan lebih lanjut atau hal lain yang ingin Anda diskusikan, jangan ragu untuk bertanya!

Diberikan fungsi 𝑦 sebagai berikut; 𝑦 = ቄ −2, 𝑥 ≤ 0 3𝑥 , 𝑥 > 0 Gambarlah grafik dari fungsi 𝑦 tersebut

Soal No 2: Berikut adalah grafik dari fungsi $y$ yang diberikan:

Untuk menggambarkan grafik ini, kita perlu membuat dua bagian terpisah berdasarkan kondisi yang diberikan:

1. Untuk $x\le 0x\; \backslash leq\; 0$, $y=-2y\; =\; -2$

2. Untuk $x>0x\; >\; 0$, $y=3xy\; =\; 3x$

Mari kita lihat grafiknya:

 y

6 |        /

5 |       /

4 |      /

3 |     /

2 |    /

1 |   /

0 |---|------------

-1 |___|__________ 

-2 |___|__________ 

-3 |___|__________  

   -3 -2 -1  0  1  2  3    x

• Untuk $x\le 0x\; \backslash leq\; 0$, nilai $y=-2y\; =\; -2$ adalah garis horizontal pada $y=-2y\; =\; -2$.

• Untuk $x>0x\; >\; 0$, $y=3xy\; =\; 3x$ adalah garis miring yang dimulai dari titik (0,0) (karena untuk $x=0x\; =\; 0$ nilainya tidak dimasukkan) dan berlanjut ke atas dengan kemiringan 3.

Ini memberikan visualisasi bagaimana fungsi tersebut dibagi menjadi dua bagian yang berbeda berdasarkan nilai $xx$. Jika ada pertanyaan lebih lanjut, jangan ragu untuk bertanya

Soal No 3: Diberikan dua fungsi f(x)=x^2+1 dan g(x)= √(3+6)

a. Tentukan fungsi komposisi ℎ(𝑥) = (𝑓𝜊𝑔)(𝑥) 

b. Tentukan domain dari ℎ(𝑥)

Mari kita selesaikan langkah demi langkah.

a. Tentukan fungsi komposisi $h(x)=(f\circ g)(x)h(x)\; =\; (f\; \backslash circ\; g)(x)$

Diberikan dua fungsi:

$$f(x)=x^2+1f(x)\; =\; x^2\; +\; 1$$

$$g(x)=\sqrt{3+6}g(x)\; =\; \backslash sqrt\{3\; +\; 6\}$$

Namun, perhatikan bahwa fungsi $g(x)g(x)$ yang diberikan adalah konstanta karena tidak ada variabel $xx$ di dalamnya:

$$g(x)=\sqrt{9}=3g(x)\; =\; \backslash sqrt\{9\}\; =\; 3$$

Maka, fungsi komposisi $h(x)=(f\circ g)(x)h(x)\; =\; (f\; \backslash circ\; g)(x)$ berarti kita menggantikan $g(x)g(x)$ ke dalam $f(x)f(x)$. Jadi,

$$h(x)=f(g(x))=f(3)h(x)\; =\; f(g(x))\; =\; f(3)$$

Langkah-langkahnya:

1. Hitung $g(x)g(x)$:

$$g(x)=3g(x)\; =\; 3$$

2. Masukkan $g(x)g(x)$ ke dalam $f(x)f(x)$:

$$f(3)=3^2+1=9+1=10f(3)\; =\; 3^2\; +\; 1\; =\; 9\; +\; 1\; =\; 10$$

Dengan demikian, fungsi komposisi $h(x)h(x)$ adalah konstanta:

$$h(x)=10h(x)\; =\; 10$$

b. Tentukan domain dari $h(x)h(x)$

Karena fungsi $h(x)=10h(x)\; =\; 10$ adalah fungsi konstan, domainnya akan mencakup semua nilai $xx$. Fungsi konstan tidak bergantung pada nilai $xx$ sehingga terdefinisi untuk semua $xx$.

Jadi, domain dari $h(x)h(x)$ adalah semua bilangan real, atau:

$$D(h)=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })D(h)\; =\; (-\backslash infty,\; \backslash infty)$$

Kesimpulan:

• Fungsi komposisi $h(x)h(x)$:

$$h(x)=10h(x)\; =\; 10$$

• Domain dari $h(x)h(x)$:

$$D(h)=(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })<br>$$

Soal No 4:  A={2n│n∈}dan B=3/n|n∈ℕ Tunjukkan bahwa A ≈ B (A ekuivalen B)

Untuk menunjukkan bahwa dua himpunan $AA$ dan $BB$ adalah ekuivalen (dalam arti bahwa ada bijeksi antara keduanya), kita perlu mendefinisikan fungsi bijeksi antara kedua himpunan tersebut.

Diberikan dua himpunan:

• $A=\{2n\mid n\in \mathbb{N}\}A\; =\; \backslash \{2n\; \backslash mid\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\backslash \}$, yaitu himpunan bilangan genap positif.

• $B=\{\frac{3}{n}\mid n\in \mathbb{N}\}B\; =\; \backslash \{\; \backslash frac\{3\}\{n\}\; \backslash mid\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash \}$, yaitu himpunan bilangan berbentuk $\frac{3}{n}\backslash frac\{3\}\{n\}$ dengan $nn$ adalah bilangan asli.

Untuk menunjukkan bahwa $AA$ dan $BB$ adalah ekuivalen, kita akan mencari fungsi bijeksi $f:A\to Bf:\; A\; \backslash rightarrow\; B$.

Definisikan Fungsi Bijepsi

Kita dapat mendefinisikan fungsi $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}f:\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{N\}$ yang menghubungkan setiap elemen dalam $AA$ ke elemen dalam $BB$ sebagai berikut:

$$f(2n)=\frac{3}{n}f(2n)\; =\; \backslash frac\{3\}\{n\}$$

Buktikan bahwa Fungsi $ff$ adalah Bijeksi

Injektivitas

Fungsi $ff$ adalah injektif jika setiap elemen di $AA$ dipetakan ke elemen yang unik di $BB$.

Misalkan $f(2n_1)=f(2n_2)f(2n\_1)\; =\; f(2n\_2)$. Ini berarti:

$$\frac{3}{n_1}=\frac{3}{n_2}\backslash frac\{3\}\{n\_1\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{n\_2\}$$

Karena $\frac{3}{n_1}=\frac{3}{n_2}\backslash frac\{3\}\{n\_1\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{n\_2\}$, kita dapat menyederhanakannya menjadi:

$$n_1=n_{2}n\_1\; =\; n\_2$$

Oleh karena itu, $ff$ adalah injektif.

Surjektivitas

Fungsi $ff$ adalah surjektif jika setiap elemen di $BB$ adalah citra dari setidaknya satu elemen di $AA$.

Karena setiap elemen $b\in Bb\; \backslash in\; B$ berbentuk $\frac{3}{n}\backslash frac\{3\}\{n\}$ untuk beberapa $n\in \mathbb{N}n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{N\}$, fungsi $ff$ secara langsung memberikan elemen $bb$ dari $BB$ sebagai citra dari $2n2n$ dari $AA$. Oleh karena itu, $ff$ adalah surjektif.

Kesimpulan

Karena fungsi $f(2n)=\frac{3}{n}f(2n)\; =\; \backslash frac\{3\}\{n\}$ adalah injektif dan surjektif, maka $ff$ adalah bijeksi. Oleh karena itu, himpunan $AA$ dan $BB$ adalah ekuivalen (A ≈ B).

Rate this article